Kandela Bülten olarak üçüncü yazımız, üyemiz Yavuz Rodoplu’dan: Matematik alanında lisans eğitimini bu yıl bitiren Yavuz, simetri kavramını derinlemesine irdeleyen ve yayın alanımızı genişleten bir deneme hazırladı. Keyifli okumalar dileriz.
İnsan beyni kimi kavramları keşfetmeye ve onları doğada bulmaya dair müthiş ve gizemli bir beceri göstermekte. Bana kalırsa simetrileri algılamadaki başarımız da bunlardan biri. Simetrik nesneler bize kendilerini kolayca belli ettiği gibi, biz de bu durumda (yani simetrik durumda) bulunmayı diğer durumlardan ayırt edebiliyoruz – insanlık olarak simetriyi ayrı, özel bir isimle niteliyor olmamız da şüphesiz bunun en açık göstergesi. Bu yazıda çeşitli sorular üzerinden simetri ve simetrik olma kavramlarının yanı sıra çeşitli simetrilerin birbirleriyle ilişkilerini incelemeye; insanlar olarak bu kavramın neden bizim için değerli olduğunu birlikte anlamaya çalışacağız. Başladığımız bu düşünce egzersizinde simetrinin tanımını en başta yapmıyorum, bu sonuca doğal akışında ulaşmayı hedefliyorum. Bu yazının bilimsel bir yazı olmadığını da not düşmek isterim. Konuyla ilgili kişiler için yazı sonunda çeşitli kaynak önerileri sundum. Dilerseniz bu kaynaklara başvurarak matematikte simetri kavramını sistematik bir biçimde görüp inceleyebilirsiniz. İyi okumalar dilerim.
1. Hazırlık
Yazıya başlarken, gündelik hayatta kullandığımız “simetrik olma” ve “simetri” gibi bazı kelimeler hakkında farkındalığa ulaşmamız yerinde olacaktır. Fark edilmeli ki simetrik olmak ancak belirli bir bağlamda düşünülebilir. Örneğin bir ayna ile yüzümüze baktığımızı düşünelim: fark edebiliriz ki yüzümüz yansıma simetrisine sahiptir ancak öteleme simetrisine sahip değildir. Dolayısıyla bir nesneyi sadece “simetrik” olarak nitelemek aslında muğlak, belirsiz bir ifadedir. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için söz konusu nesnenin sahip olduğu simetrinin de anlatıma dahil edilmesi gerekmektedir. İnsan yüzünün sahip olduğu yansıma simetrisinin bir çizimini aşağıda görebilirsiniz.
Kaynak: Bandyopadhyay, Samir & Dutta, Shawni & Goyal, Vishal & Bose, Payal. (2021). Normal and Abnormal Human Face Detection Based on DCT and FFT Techniques - A Proposed Method. 10.20944/preprints202107.0570.v1.
Unutulmamalı ve hatta önemle dikkat edilmelidir ki: hem bir nesne birden fazla simetriye sahip olabilir, hem de nesnelerden bahsederken yanlışlıkla farklı nesnelerin ayrımı göz ardı edilebilir. Bir başka deyişle, sözünü ettiğimiz nesne ne kadar iyi tanımlanırsa onun simetrilerini anlaması da o kadar kolay olacaktır. Örnekle açıklayacak olursak: dört kenarı aynı renge sahip bir kare ile dört kenarı renklendirilmiş bir kare, simetri arayışımız bakımından farklı nesneler olarak algılanmalıdır; zira karenin açıkça içerdiği dört adet yansıma simetrisi, dört kenarı da renklendirilmiş karenin simetrileri olmayabilir. Durumun böyle olabilmesi için ya dört kenarının da aynı renk olması gerekir ya da kenar renk bilgisinin unutulması ve göz önünde bulundurulmaması gerekir. Bu son durumda da zaten nesnemizi artık renklendirilmiş bir kare olarak değil, yalnızca bir kare olarak algıladığımız için aslında farklı algılamaya başladığımız bir nesneden söz etmeye başlamış oluruz. Görüleceği üzere nesnelerimiz üzerine dikkatle düşünmeli ve onları karmaşıklığa mahal vermeyecek biçimde tanımlamalıyız.
2. Simetri
Yüzünüzün yansıma simetrisinden; karenin, döndürme ve yansıma simetrilerinden; tamsayıların, her birini eksi birle çarptığımızda gördüğümüz simetrilerinden bahsetmesi ve onları fark etmesi alana dair teknik hakimiyeti olmayan bir insan için dahi çok kolay. Ancak neye simetri dediğimizi bilmemek, gördüğümüz bazı simetrileri fark etmeyi zorlaştırabiliyor. Bu zorluğun üstesinden gelmek için simetri kelimesinin tanımını vermenin yeterli olacağına inanıyorum. Tanımlar, sahip olmalarını arzuladığımız kapsama sahip oldukları takdirde kabul edilebilir olurlar – inanıyorum ki aşağıda yaptığım simetri tanımı da bu yazı boyunca kabul edilebilir olacaktır.
Simetri, göz önüne alınan nesneyi değişmez bırakan, nesne üzerindeki harekettir. Yukarıdaki örneklerimizde bu hareket yüzün yansıması, karenin yansımaları ve döndürüleri ile tamsayıları eksi birle çarpmak olmuştur. Göründüğü gibi her tamsayı yine bir tamsayıya gitmiştir, yüz yine kendisi olarak kalmıştır ve kare değişmemiştir.
Bu örnekler arasından birinin üzerine biraz daha fazla eğilmek isterim: tam sayıların simetrisi. Bu örneği bir önceki bölümde bahsettiğimiz dikkat edilmesi gereken ikinci hususa oldukça somut bir örnek teşkil etmesi açısından bir daha inceleyecek ve ondan yeni örnekler üreteceğiz.
3. Cebirsel Tamsayılar
Tamsayıları toplama işlemiyle birlikte göz önüne aldığımızda artık elimizde üzerine ikili bir işlem tanımlanmış bir küme durmaktadır. Literatürde bu isim başka sayılardan bahsetmek için kullanılıyor olsa da biz şimdilik bu nesneye Cebirsel Tamsayılar diyelim. Bu yapının simetrisi dediğimiz şeyler ne olmalıdır diye düşünmeye başlayabiliriz. Öncelikle bu yapının simetrisi dediğimiz şeyler Tamsayılar kümesi üzerindeki toplama işlemini de dikkate alan cinsten şeyler olmalı. Başka bir deyişle nasıl ki bir çokgenin simetrisi dediğimiz şeyler, çokgenin kenarları arasında tanımlı olan birbirine komşu olma ilişkilerini koruyorsa bu nesnenin simetrileri de toplama işleminin bize vereceği komşuluğa benzer ilişki ve özellikleri korumalı. Kuşkusuz ki Cebirsel Tamsayıların bir simetrisi, Tamsayılar kümesinden Tamsayılar kümesine giden bir fonksiyon olacaktır ancak taşıması gereken başka özellikler de olmalı ki toplama işleminin yapımızdaki varlığı da göz önünde bulundurulmuş olsun.
Düşünsel birikimimizi kaybetmemek için tekrar not düşmekte fayda var: Cebirsel Tamsayılar nesnesinin bir simetrisi, bu nesneyi öyle bir dönüştürmeli ki bu dönüşüm sonucunda önceden var olan ilişkiler dönüşümden sonra da korunsun.
Mesela 0 tam sayısı Cebirsel Tamsayılar nesnesinin özel bir elemanıdır. Her x tamsayısı için, x + y = x eşitliğini sağlayan yegâne tamsayıdır. O halde Cebirsel Tamsayılar nesnemizin bir simetrisi altında sabit olarak kalmalıdır. Çünkü toplama işlemi tarafından kolayca tarif ve dolayısıyla ayırt edilebilmektedir. Bu bulduğumuz özellik akla yatkın ve heyecan verici, ancak bir sonraki paragrafta göreceksiniz ki çok daha basit bir koşulun sağlanması bu koşulun sağlanması için yeterli olacaktır. Üstüne üstlük o basit koşul, baktığımız nesne hakkında çok daha genel bir resim sunmaktadır.
Çokgenlerin simetrilerinin komşuları komşulara taşıdığını biliyoruz. Cebirsel Tamsayılar nesnemizdeyse benzer bir ilişki toplama işlemi tarafından koşulmakta. Örneğin simetrimiz f fonksiyonu ise ve a sayısı f(a) sayısına taşınsa, bir b sayısı aldığımızda, onun öyle bir yere taşınmasını isteriz ki toplama tarafından ilişkilendirilen (a, b, a+b) sayı üçlüsü bu simetriyle, yine toplama tarafından ilişkilendirilmiş olan bir (f(a), f(b), f(a+b)) sayı üçlüsüne gönderilsin. Bunu basit bir şekilde sağlayabiliriz: f’in toplamsal olmasını isteriz. Yani her a ve b tam sayısı için f(a + b) = f(a) + f(b) olmasını şart koşabiliriz.
Görülebilir ki bu son şart aslında bir önceki bulduğumuz sıfırın özel sayı olma durumunu da koruyan şeylere simetri deme şansını bize veriyor. Gerçekten de günümüzde bu şekilde birebir ve örten bir f fonksiyonuna Cebirsel Tamsayıların bir simetrisi denir.
Cebirsel Tamsayıların toplam simetri sayısı ise ikidir. Bunlardan ilki 1’i 1’e götüren fonksiyondur ve bu fonksiyon hakikaten bu özellik ve de toplamsallık varsayımıyla karakterize edilir. Başka bir deyişle 1’i, 1’e götüren ve toplamsal olan tam sayılardan tam sayılara giden tek bir fonksiyon vardır. Diğeriyse 1’i -1’e götüren fonksiyondur ve bu fonksiyon da bu özellik ve toplamsallık varsayımıyla karakterize edilebilir.
Bu nesnenin neden sadece bu kadar simetrisinin olduğuysa şu sorunun cevabını düşünerek bulunabilir: 1 sayısı bu nesnenin f denen bir simetrisi tarafından nereye götürülecek?
1, -1’den veya kendinden farklı bir sayıya götürülseydi o halde toplamsallık özelliğini arka arkaya uygulayarak görürdük ki n sayısı n kere f(1) sayısına götürülürdü ancak bu durumda 1 sayısına giden bir şey olmazdı bu ise f’i örten yapmazdı. Yani f bir simetri olamazdı…
4. Sıralı Tamsayılar
Şimdi bakmak istediğimiz nesne ise Tamsayılar ve onun aşina olduğumuz sıralaması. Bu yazı boyunca bu nesneyi de Sıralı Tamsayılar nesnesi olarak çağıralım. Sıralı Tamsayılar nesnesinin simetrilerinin ne tür dönüşümler olması gerektiğini sorgulayacağız. Bu nesne üzerindeki küçük olma ilişkisi bu nesneyi karakterize eden en büyük ilişkidir. Dolayısıyla Sıralı Tamsayılar nesnesinin bir simetrisi bu ilişkiyi kesinlikle korumalıdır. Bunun yanı sıra bu nesnenin bir simetrisi yine Tamsayılardan Tamsayılara giden birebir ve örten bir f fonksiyonu olmalıdır.
Bu söylediklerimiz şu şekilde özetleyebiliriz: Eğer f fonksiyonu tamsayılardan tamsayılara giden birebir ve örten bir fonksiyonsa, onun Sıralı Tamsayıların bir simetrisi olabilmesi için aynı zamanda a tamsayısı, b tamsayısından küçük ise f(a) tamsayısının f(b) tamsayısından küçük olacağı şekilde tanımlanması gerektiğini düşünüyoruz. Bizce bu makul ve aynı zamanda yeterli bir istek. Çünkü bir grup nesneniz varsa ve onlar üzerine bir küçük olma ilişkisi kurarsanız, o zaman o nesne üzerinde bir sıralama tanımlamış olursunuz.
Örneğin iki elimizin parmakları üzerine bir sıralama şu şekilde tanımlanabilir: Sol elin her parmağı, sağ elin her parmağından büyük olsun ve her elin parmakları da kendi içlerinde başparmaktan itibaren kaçıncı parmaklarsa o sıranın büyüklük küçüklük ilişkisine göre sıralansın. Bu sıralama altında, sol başparmak sol işaret parmağından küçüktür; sol başparmak, sağ başparmaktan büyüktür vs.
Sıralı Tamsayılar nesnesinin simetrilerine dönecek olursak görürüz ki yukarıdaki iki paragrafta sunduğumuz bakış açısıyla bakıldığında, Sıralı Tamsayılar nesnesi sonsuz adet simetriye sahip oldu. Mesela her tamsayıyı bir fazlasına götürmek bir simetri dahası bu simetriyi arka arkaya uygularsak birbirinden farklı sonsuz adet simetri bulacağız.
Şu da görülebilir ki Sıralı Tamsayılar nesnesinin bir simetrisi, seçilmiş bir a tamsayısı için, f(x) = x + a biçiminde bir fonksiyondur. Görsel olarak bakıldığında bu fonksiyonlar tam sayıları sağa veya sola doğru kaydırırlar.
5. İzomorfi / Eşyapı
Bazı simetrilerin ne denli farklı görünebildiğini ve nesnelerimizi iyi tanımlamanın önemini gördüğümüzü düşünüyorum. Şimdi odaklanmak istediğim ise simetri kavramıyla ilişkili olmasına karşın daha genel bir kavram niteliğindeki “izomorfi”.
Cebirsel Tamsayılar nesnesini hatırlayalım. Bu nesne, Sıralı Tamsayılar nesnesi ile karşılaştırıldığında birbirlerinden çok farklı oldukları rahatça görülebilir. Oysaki Rasyonel Sayıları toplama işlemiyle birlikte düşündüğümüzde, cebirsel tamsayılar nesnemiz ile ortak yanları artacaktır. En başta her iki nesnede de bir işlem tanımlıdır. Öte yandan Sıralı Tamsayılar nesnesinde herhangi bir işlem tanımlı değildir. Bu durumda Rasyonel Sayılar ve Cebirsel Tamsayılar kendilerine benzer olan daha pek çok nesneyle bir arada hayal edilebilir. Mesela bu nesne grubuna {n/2|n bir tam sayı} kümesini bildiğimiz toplama işlemiyle dahil edebiliriz. Neticede rasyonel sayıların içinden çekilip alınmış gibidir. Bu yeni nesnemize Cebirsel Yarım Tamsayılar adını verelim.
Elimizde şimdilik sadece üç elemanını açıkça tarif ettiğimiz, daha bir şeyler ekleyip eklemeyeceğimizi söylemediğimiz bir nesne topluluğu var. Bu topluluğu; içine koyduğumuz nesnelerin bir işleme sahip olma, birim elemanı olma gibi özellikleri göz önünde bulundurarak oluşturduk. Dolayısıyla topluluğumuz hali hazırda dışındaki bazı nesnelerden ayrılmakta. Ancak topluluğumuz içinde bulunan nesneler belirli açılardan fazla benzer olabilirler. Mesela aşağıdaki düzlemde yer alan iki kareye özdeş demek işten bile değildir.
Onları ayıran öteleme geometrik bakımdan özelliklerini etkilememektedir. Yani geometrik olarak aynı özellikleri sağlamaktadırlar.
Benzer bir durum yukarıdaki topluluğumuz için de geçerli olabilir. Burada gördüğümüz nesneler onları bu topluluğa dahil etmemizi sağlayan yapısal özellikleri bakımından öylesine benzer olabilirler ki onları sanki aynıymış gibi düşünmek isteyebiliriz. Bu duruma o iki nesnenin izomorfik / eşyapısal olması adını veriyoruz. Özünde nesneler farklı oluyor ancak yapı itibariyle öylesine benziyorlar ki baktığımız yapısal özellikler onları ayırt edemiyor.
Üç nesneli topluluğumuz içinde birbiri ile izomorfik olan iki farklı nesnemiz var: Cebirsel Tamsayılar ve Cebirsel Yarı Tamsayılar. Görebilirsiniz ki bu iki yapıdan biri diğerinin her elemanını ikiye bölerek elde edilmiş elemanlardan oluşuyor. Dahası pek çok toplamsal özellikler açısından benzerler. Mesela her Cebirsel Tamsayı 1’i veya onun toplamsal tersi olan -1’i kendisiyle bir miktar toplayarak ifade edilebilirken bu özellik Cebirsel Yarı Tamsayılarda da 1/2 ve onun toplamsal tersi olan (-1)/2 tarafından sağlanmakta. İşin aslı sadece bu değil. Bu yapılardan birinin sağladığı her cebirsel özellik diğer yapıda da bir biçimde sağlanmakta. Üstüne üstlük bu tutarlı bir biçimde olmakta. Tutarlılıktan kastımız ise şu: Bu iki yapıdaki elemanlar öyle bir biçimde birbirleriyle eşlenebilirler ki, bir taraftaki bir elemanın sağladığı her özelliğin karşılığı, o elemana karşılık gelen eleman tarafından diğer tarafta sağlanabilmektedir. Yani bu topluluğu oluştururken koyduğumuz bazı temel özellikler tarafından bakıldığında, bu iki nesne aynı yapıda inşa edilmişler gibi duruyor. İşte bu sebeple onlara izomorfik diyoruz.
İzomorfik nesneler özünde farklı nesneler olmasına karşın yapısal bakımdan özdeştirler. Aynı yukarıdaki kareleri sadece geometrik olarak değerlendirip kendilerini oluşturan noktaların isimleri sayılabilecek koordinatlarını düşünmediğimizde onları birbirlerinden ayıramadığımız gibi izomorfik nesneleri de birbirlerinden önemsiz detaylar haricinde ayıramayız. Yapısal olarak özdeş olan iki farklı nesneye sahip olmak pek çok açıdan avantajlıdır. Bir nesneyle ilgili sorulan soru ve düşünülen ilişkiler bir diğer nesneye taşındığında çok basit biçimler alabilir ve hatta yeni ilişkilerin ve soruların doğumuna yol açabilir. Bu sebeple izomorfik nesnelere sahip olmak bir zenginliktir. Problemlerin çözümüne ve yönetimine farklı bakış açıları sunar.
Tahmin edilebilir ki bir nesneyi göz önünde bulundururken onun ait olduğu bir toplulukta ona izomorfik olan bir nesne arama ihtiyacı doğal bir biçimde gelişebilir. Nasıl ki elinizde bir el feneriyle karanlık alana bırakıldığınızda gidilemeyecek olan yerleri ayırt ederek ilerlemekten başka bir şansınız yoksa – yani gidilebilir alan büyülü bir şekilde önünüzde parıldamıyorsa. Elinizdeki nesneye izomorfik olan nesneler ararken de yapabileceğiniz en iyi şey olmayanları ayırt edebilme yetisinde olmaktır. Bu yetiye kavuşmak içinse nesnelerin simetrilerini kullanmak çok doğal bir yöntem olarak karşımıza çıkmaktadır.
Diyelim ki bir nesneye bakıyoruz ve elimizde bu nesnenin ait olduğu bir nesneler topluluğu var. Öyle ki bu nesneler topluluğu aynı yukarıdaki gibi belirli bir biçimde benzer olan nesnelerin bir araya gelmesiyle oluşturulmuş. Biliyoruz ki nesnemizin simetrileri, onun yapısını belirleyen nitelikleri koruyan hareketler. Şimdi nesnemize izomorfik olan başka bir nesne daha hayal edelim. Yukarıda da belirtildiği şekilde bu eşyapısal kopya, nesnemizin her özelliğinin tutarlı bir karşılığını barındırmakta. Öyleyse nesnemizin sahip olduğu bir simetri tarafından birbirinden ayırt edilemeyen iki parçası aslında izomorfik kopyada da ayırt edilemeyen iki parçaya karşılık gelmektedir. Öyleyse, nesnemizin sahip olduğu her bir simetri izomorfik kopyanın da bir simetrisine karşılık gelmektedir. Üstelik bu durum öyle bir biçimde gerçekleşmektedir ki nesnemizin simetrileri kümesi ve izomorfik kopyanın simetrileri kümesi bugün adına Gruplar Topluluğu diyebileceğimiz bir nesne topluluğu içinde izomorfik kılınmaktadır. Bu paragrafta anlatmak istediğimiz birkaç basit kelimeyle de özetlenebilir: Eşyapısal nesneler, eşyapısal simetri gruplarına sahiptir. Nesnemizin simetri grubu dediğimiz şey onun simetrileri topluluğunun iki simetriyi arka arkaya uygulama işlemiyle birlikte düşünülmesinden başka bir şey değildir. Simetri gruplarının ne olduğunu daha iyi kavramak isteyen okuru yazının sonunda bulabileceği kaynakça kısmına yönlendirmek durumundayım, zira konuya daha detaylıca eğilmek bu blog yazısının kapsamını orantısız şekilde genişletecektir.
Yukarıdaki paragraftan anlamaktayız ki benzer iki nesnenin izomorfik olmadıklarını göstermek için onların simetri gruplarının izomorfik olmadığını göstermek yeterli. Ne kadar temel bir olgu olduğu düşünülürse, simetriler nesneleri ayırmanın başlıca yollarından biri olarak karşımıza çıkmaktalar.
6. Kapanış
Bu yazımızda bahsettiğimiz konu ve kavramlar matematiğin grup teori denen dalıyla ilgilidir. Bir nesnenin simetrileri, matematikte grup adını verdiğimiz bir nesne olarak karşımıza çıkmaktadır. Grupları incelemek nesnelerin simetrilerini incelemek demektir. Grup Teorideki bulguları yoluyla Évariste Galois isimli matematikçi beş ve üstü dereceden reel katsayılı polinomların köklerinin liseden aşina olduğumuz ikinci dereceden polinomların köklerini ifade eden denklemlere benzer denklemlerle ifade edilemeyeceğini kanıtlamıştır. Tüm bu konu ve ilerisi için aşağıdaki kaynakları sunmak istedik. Zevkinize daha çok hitap edebilecek kaynaklar da bulabilirsiniz. Bu sebeple eğer ilgiliyseniz ek kaynaklara başvurmaktan da çekinmeyin.
Ağustos 2024, İstanbul.
Kandela Bülten ortamında yayımlanan bu makale Kandela Düşünce Topluluğunun resmi görüşü olmayıp, yazarın şahsi görüşlerini yansıtmaktadır.
Kaynakça
ARMSTRONG Mark Anthony, Groups and Symmetry, Springer-Verlag, New York, 1988.
BISHOP David M., Group Theory and Chemistry, Bishop M. David, Dover Publications, New York, 2019.
GOWERS Timothy / BARROW-GREEN June / LEADER Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, New Jersey, 2008.
 |
|